Formule de Leibniz :
Soient \(P,Q\in{\Bbb K}[X]\) et \(n\geqslant1\). Alors $${{(PQ)^{(n)} }}={{\sum^n_{i=0}\binom niP^{(i)}Q^{(n-i)} }}$$
Exemples
Exemples :
pour \(n=1\), \((fg)'=f'g+g'f\)
pour \(n=2\), \((fg)''=f''g+2f'g'+g''f\)
Exemple :
\(f(x)=e^x\) et \(g(x)=x^2+1\)
$$(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^nf^{(n-k)}g^{(k)}\binom nk$$$\(=\binom n0f^{(n)}g^{(0)}+\binom n1f^{(n-1)}g^{(1)}+\ldots+\binom nnf^{(0)}g^{(n)}\)$$\(=e^x(x^2+1)+ne^x.2x+\frac{n(n-1)}{2}e^x.2\)$(car tous les machins suivants sont égaux à 0)$$=e^x\left(x^2+2nx+n(n-1)+1\right)$$